محاسبه اثر گرانی ساختار دوبعدی با مقطع اختیاری و تغییرات چگالی خطی در راستای افقی و قائم و مقایسه آن با حالت چگالی ثابت

Transcript

1 دوره شماره 53 صفحات /JRAG (DOI): شناسه دیجیتال محاسبه اثر گرانی ساختار دوبعدی با مقطع اختیاری و تغییرات چگالی خطی در راستای افقی و قائم و مقایسه آن با حالت چگالی ثابت * وحید انتظار سعادت و سید هانی متولی عنبران - دانشجوی کارشناسی ارشد مؤسسه ژئوفیزیک دانشگاه تهران - استادیار مؤسسه ژئوفیزیک دانشگاه تهران دریافت مقاله: 3/0/ پذیرش مقاله: 3/0/ * نویسنده مسئول مکاتبات: motavall@ut.ac.r واژگان کلیدی مدلسازی دوبعدی آنومالی گرانی تغییرات خطی چگالی چکیده در مطالعات ژئوفیزیکی هنگام مواجهه با رسوبات ضخیم تودهها و یا مدلسازی گوشته چگالی به صورت یکنواخت نیست و دارای تغییرات در راستاهای مختلف است. این تغییرات ممکن است با افزایش عمق و یا در راستای افقی به صورت افزایش یا کاهشی باشند. در این تحقیق با استفاده از مطالعات پیشین رابطهای برای محاسبه آنومالی گرانی افقی و قائم حاصل از چندضلعی دوبعدی با سطح مقطع اختیاری و نامنظم و دارای تغییرات خطی چگالی در راستای افقی و قائم توسعه داده شده است. در ادامه کدی در محیط برنامهنویسی متلب و بر اساس فرمول توسعه داده شده تهیه شده است و آنومالی گرانی را برای ساختارهایی که دارای چگالی خطی متغیر و یا چگالی ثابت هستند محاسبه میکند. مدل مصنوعی به کار برده شده در این تحقیق مدل مصنوعی دوبعدی است که دارای شکلی نامنظم است. در این مدل مصنوعی یکبار چگالی به صورت خطی در راستای قائم به طور افزایشی تغییر یافته است و سپس چگالی به صورت خطی و در راستای افقی به صورت افزایشی تغییر یافته و در هر دو حالت با مدلی که میانگین چگالی به کل توده نسبت داده مقایسه شده است. نتایج محاسبات و مدلسازی بیان میدارد که مقدار این تفاوت محسوس است و نمیتواند نادیده گرفته شود. لذا در مواردی که نیاز به محاسبات اثر گرانیسنجی با دقت باالتری است و یا در مطالعات بزرگ مقیاس که نیاز به مدلسازی گوشته است میتوان از اشکال دوبعدی چندوجهی با تغییرات خطی چگالی در راستاهای مختلف استفاده کرد.

2 انتظار سعادت و متولی عنبران محاسبه اثر گرانی ساختار دوبعدی با مقطع اختیاری و تغییرات چگالی خطی در راستای افقی و قائم و مقایسه آن... صفحات مقدمه روشهای زیادی برای محاسبه آنومالی گرانی دوبعدی برای تودههای با مقطع غیریکنواخت و چگالی ثابت با استفاده از محاسبات رایانههای پیشنهاد شده اسهت تتهالوانی و همکهاران تهالوانی و اوینه 0 مورثی باتاچاریا و ناولیو و ون و بویس (. روشی کهه بهه طهور مرسهوم و بیشهتر مهورد اسهتفاده قهرار میگیهرد روش چندضهلعی تهالوانی و همکهاران ت ( اسهت بهه صورتی که پیرامون توده با یک N ضهلعی معهادلسهازی مهیشهود و آنومالی گرانی مهدل بها اسهتفاده از انتگهرال خطهی ههوبرت ت ( محاسبه میشود. جنبه جالب روش چندضهلعی آن اسهت کهه تغییهر مقدار مختصات رئوس منجر به تغییر شکل مدل میشود و این تغییر را به سادگی میتوان توسهط برنامههههای رایانههای اجهرا نمهود و در مطالعات پیشرو و وارون بکار بهرد تکاربهاتو کورشهی و مهوال.) چگالی سن به گونهای که برای سن های پوسته و گوشته با تغییر عمق تغییر میکنند های پوسهته چگهالی بها افهزایش عمهق بهه صورت نمایی یا خطی افزایش مییابد تآثی 0( و بهرای گوشهته چگالی با افزایش عمق بهه صهورت خطهی کهاهش مهییابهد. کهوردل ت ( مشاهده کرد که تباین چگالی در ساختارهای کهمعمهق بهه صورت نمایی و در ساختارهای با عمق متوسط به صورت خطی تغییر میکنهد. روشههای معهدودی تباتاچاریها و چهان گنهدزویل 0( وجود دارند که آنومالی گرانی را برای اجسام با چگالی متغیهر تعیین کنند. اولین قدم در فرایند مدلسازی ساختن هندسه مدل است کهه بر پایه اطالعات زمینشناسی و ژئوفیزیکی است. مدلهای دوبعدی با استفاده از پروفیلههایی بها مختصهات ت, ( کهه عمهود بهر سهاختار هستند ساخته میشوند و شامل مجموعهای از چندضلعیها هسهتند و هندسه مدل را تعیین میکنند. بدیهی است هر چهه تعهداد اضهال چندضلعی بیشتر باشهد دقهت مهدلسهازی نیهز بیشهتر مهیشهود و همینطور مدلسازی بها اسهتفاده از چندضهلعی بسهیار راحهتتهر از مدلسازی با بلوکهای مستطیلی است. این چندضلعیها در راسهتای محور y تا بینهایت گسترش یافتهاند و یا بهه یهک مقهدار مشخصهی محدود شدهاند ت / بعدی(. مدل تا زمانی که بهتهرین انطبهاب بهین دادههای محاسبهای و دادههای اندازهگیری شده حاصل شهود تغییهر میکند و تغییر مدل تنها با تغییر مختصهات مهدل بهه سهادگی قابهل اجراست. - روش تحقیق در این مقاله از معادله تالوانی و همکاران ت ( که برای تودهههای غیریکنواخت دوبعدی و با چگالی ثابت تهیه شدهاند استفاده میشود و معادلهای محاسبه میشهود کهه دارای تغییهرات خطهی چگهالی در راستای افقی و قائم است. در شکل چندضلعی ABCDEFGH بر تهوده منطبهق شهده است و نقطه O در واقع نقطهای است که باید اثر گرانهی تهوده در آن محاسبه شود. به صورت ساعتگرد افزایش مییابهد و محهور بهه سمت پایین مثبت در نظر گرفته میشود. هوبرت ت ( نشهان داد که میتوان اثر گرانشی قائم و افقی هر چندضلعی دوبعدی بسته را بها انتگرالگیری خطی حول محیط آن به دست آورد: ت ( که در آن G ثابت جهانی گهرانش و Δg Δg Gρ dθ Gρ dθ چگهالی تهوده اسهت. در رابطه باال چگالی به صورت ثابت در نظر گرفتهه شهده اسهت و لهذا از انتگرال خارج شده است. حال اگر چگالی با عمق بهه صهورت خطهی تغییر کند میتوان نوشت: ت ( که در آن افزایش چگالی با افزایش عمق و فاصله افقی است. ρ up ρ left چگالی باالترین نقطه تهوده اسهت و ضهریب ضریب افزایش چگالی با افهزایش شکل : شکل شماتیک توده زمینشناسی و نحوه منطبق کردن چندضلعی بر روی آن و همینطور نمایش نمادهای به کار رفته در رابطه شماره. 0

3 میشود: ت ( در نتیجه برای چگالی غیرثابت رابطه ت ( به صورت زیر تبهدیل نشریه پژوهشهای ژئوفیزیک کاربردی دوره شماره. 53 Δg Δg G ρ() dθ Δg Gρ()dθ Δg مقدار اثر گرانی قائم و افقی با چگالی G ρ() dθ Gρ()dθ که در آن و متغیر خطی در راستای قائم و و به ترتیهب مقهدار اثهر گرانی قائم و افقی با چگهالی متغیهر خطهی در راسهتای افقهی اسهت. تالوانی و همکاران ت ( نشان دادند که با توجهه بهه شهکل ههر نقطه اختیاری ماننهد V بهر روی چندضهلعی دارای مختصهات و است و میتوان این مختصات را به صورت زیر تعریف کرد: tan و نیز نشان دادند که با توجه به شکل میتوان نوشت: a tan tan a ت ( ت ( ت ( و در نهایت از روابط ت ( و ت ( به روابط زیر رسیدند: a tan tan tan tan a tan tan tan در مطالعات پیشین چگالی ثابت فرض میشد و بها اسهتفاده از معادالت به دست آمده از رابطهه ت ( انتگهرالههای معادلهه ت ( حهل میشد. در این مطالعه چگالی ثابت نیست و به صهورت خطهی تغییهر میکند. لذا باید برای محاسبه آنومالی گرانی افقی و قائم انتگرالهای معادله ت ( حل شوند. برای حل انتگهرالههای معادلهه ت ( بایهد ایهن انتگرالها برای تک تک اضال چندضلعی محاسبه شوند و در نهایهت باهم جمع شوند تهوبرت (. برای مثال برای حل انتگهرال روی ضهلع BC بها جایگهذاری روابهط ت ( و ت ( در معادلهه ت ( خهواهیم داشت: BC a tan tan tan tan a d d Z tan tan tan tan up BC BC a tan tan tan a d d Z tan tan tan tan left a tan tan tan a d d X tan tan tan tan up ت ( BC a tan tan a d d X tan tan tan tan left n ت ( که در آن و انتگرالههای خطهی هسهتند کهه در طول امین ضلع امینضلعی گرفته شدهاند و عالئهم بهه کهار رفتهه در رابطه ت ( به قرار زیر است: tan و down down up up و tan rght rght اثر گرانی قائم و افقی یک چندضلعی با جمع اثهر گرانهی همهه اضال آن به صورت زیر به دست میآید تهوبرت (: g G Z g G Z ت ( n n g G X g G X که در آن n تعداد کل رئهوس تهوده اسهت و G ثابهت جههانی گرانش. در نهایت با حل معادالت معادلهه ت ( و جایگهذاری آنهها در روابط معادله ت ( به نتایج زیر میرسیم: n left left 0

4 g g g انتظار سعادت و متولی عنبران محاسبه اثر گرانی ساختار دوبعدی با مقطع اختیاری و تغییرات چگالی خطی در راستای افقی و قائم و مقایسه آن... صفحات G G G n n n A tan tan log tan tan log obs A obs log tan tan log tan tan tan tan A obs log tan tan log 0

5 نشریه پژوهشهای ژئوفیزیک کاربردی دوره شماره. 53 g G n A tan tan log log tan tan obs A up mn A left و ت 0 ( left که در آن اندیسهای و + به ترتیب بیانکننده نقاط رئوس توده در جهت ساعتگرد و و به ترتیب فاصله افقی و قائم رئهوس توده تا نقطه مشاهدهای هستند تشکل (. n تعداد کل رئهوس تهوده G ثابت جهانی گرانش مختصات ارتفا نقاط مشاهدهای مختصات افقی نقاط مشاهدهای و و بهه ترتیهب چگهالی مربوط به بهاالترین و پهایینتهرین رأس مهدل و و بهه ترتیب چگالی مربوط به کمتهرین و بیشهترین مختصهات افقهی رأس مدل و به ترتیب کمترین و بیشترین مختصهات ارتفها رئههوس مههدل و و بههه ترتیههب کمتههرین و بیشههترین مختصات افقی رئوس مدل است تشکل (. مطابق رابطه ت ( ضریب تغییر چگالی با تغییر عمق است و در ارتباط با چگالی باالترین و پایینترین نقاط توده و همینطور عمق باالترین و پایینترین نقاط توده است. در صورتی که ضریب صهفر باشد و چگالی باال و پایین توده یکسان باشد یعنی تغییهرات چگهالی وجود ندارد و چگالی ثابت و برابر چگالی باالترین نقطهه تهوده اسهت. میتوان تعریف مشابهی را برای در نظر گرفت و با صفر کهردن آن تغییرات چگالی را در راستای افقی از بین برد. به منظور بررسی مقهدار تغییهر آنومهالی گرانهی در حهالتی کهه چگالی به صورت خطی تغییر میکند نسبت بهه حهالتی کهه چگهالی ثابت است برنامهای در محیط متلب تهیه گردیده است و روابهط بهه دست آمده از این مطالعه یعنی روابط معادلهه ت 0 ( در آن گنجانهده شده است. تغییرات اثر گرانی برای مدل مصنوعی به کهار بهرده شهده که مشخصات آن در جدولهای و قرار داده شده در شکلهای و قابل رؤیت است. جدول : مشخصات توده مصنوعی به کار برده شده در شکل. شماره مدل up m down m up g cm 3 mean down g cm 3 جدول : مشخصات توده مصنوعی به کار برده شده در شکل. شماره مدل left m rght m left g cm 3 mean rght g cm 3 0

6 انتظار سعادت و متولی عنبران محاسبه اثر گرانی ساختار دوبعدی با مقطع اختیاری و تغییرات چگالی خطی در راستای افقی و قائم و مقایسه آن... صفحات شکل : نتیجه محاسبه آنومالی گرانی برای مدل شماره یک و دو جدول. نمودار قرمز رنگ در ارتباط با مدل شماره یک و نمودار آبی رنگ در ارتباط با مدل شماره دو است. در مدل شماره یک چگالی به صورت خطی و در امتداد قائم از شماره دو چگالی ثابت و برابر چگالی میانگین تا افزایش مییابد. در حالی که در مدل فرض شده است. نمودار باالیی نمودار آنومالی گرانی قائم و نمودار پایینی نمودار آنومالی گرانی افقی است. همانطور که در شکل مالحظه میشود تغییر مقدار چگهالی به صورت خطی در راستای قائم اثر قابلتهوجهی را بهر روی آنومهالی گرانی میگذارد. به طوری کهه حدفاصهل بهین بیشهترین و کمتهرین مقادیر گرانی قائم مدل شماره یک برابر میکروگال و برای مهدل دو 0 میکروگال است و نیهز حدفاصهل بهین بیشهترین و کمتهرین مقادیر گرانی افقی مدل شماره یک برابر میکروگال و برای مدل دو 0 میکروگال است. مالحظه میشهود کهه در شهکل افهزایش خطی مقدار چگالی در راستای افقی نسبت به حالتی که چگالی ثابت است باعث تفاوت آشکاری در آنومالی گرانی شده است. الزم به ذکهر است که روابط معادله ت 0 ( به گونهای هستند که میتوان چگهالی را در ر ا ست ا ی ق ه ائم و ی ه ا افق هی اف ه ز ای ش ی ه ا ک ه اه ش خ ط هی د اد و ه هی محدودیتی در راستای افرایش یا کاهش چگالی وجود ندارد. برای مقایسه بیشتر بین حالتهای چگالی ثابت و متغیر مهدل مصنوعی دوبعدی دیگری با سطح مقطع مسهتطیل و ابعهاد و اعمهاب مختلف در نظر گرفته شده است که مشخصات آن در جدول آمده است. برای مدل مصنوعی جدول اختالف بین مقادیر بیشینه و کمینه آنومالی گرانی افقی و قائم در حالتهای چگالی ثابت تچگالی میانگین برابر گرم بر سانتی مترمکعب( و متغیر تافزایش خطی در راستای قائم از تا گرم بر سانتی مترمکعب( محاسبه شده است که نتایج آن در جدولهای و آمده است. 0

7 نشریه پژوهشهای ژئوفیزیک کاربردی دوره شماره. 53 شکل : نتیجه محاسبه آنومالی گرانی برای مدل شماره سه و چهار جدول. نمودار قرمز رنگ در ارتباط با مدل شماره سه و نمودار آبی رنگ در ارتباط با مدل شماره چهار است. در مدل شماره سه چگالی به صورت خطی و در امتداد افقی از مدل شماره چهار چگالی ثابت و برابر چگالی میانگین تا افزایش مییابد. در حالی که در فرض شده است. نمودار باالیی نمودار آنومالی گرانی قائم و نمودار پایینی نمودار آنومالی گرانی افقی است. جدول : مشخصات تودههای مصنوعی با سطح مقطع مستطیل. پهنا up km down km km شماره مدل

8 انتظار سعادت و متولی عنبران محاسبه اثر گرانی ساختار دوبعدی با مقطع اختیاری و تغییرات چگالی خطی در راستای افقی و قائم و مقایسه آن... صفحات جدول 4: اختالف بین بیشینه و کمینه آنومالی گرانی قائم برای مدل مصنوعی جدول با چگالی ثابت و افزایشی در راستای قائم. اختالف بین بیشینه و کمینه آنومالی گرانی قائم برای توده با چگالی متغیر )میلی گال( اختالف بین بیشینه و کمینه آنومالی گرانی قائم برای توده با چگالی ثابت )میلی گال( شماره مدل 0 جدول : اختالف بین بیشینه و کمینه آنومالی گرانی افقی برای مدل مصنوعی جدول با چگالی ثابت و افزایشی در راستای قائم. اختالف بین بیشینه و کمینه آنومالی گرانی افقی برای توده با چگالی متغیر )میلی گال( 0 اختالف بین بیشینه و کمینه آنومالی گرانی افقی برای توده با چگالی ثابت )میلی گال( شماره مدل Bhattacharyya, B.K. and Chan, K.C., 77, Computaton of gravty and magnetc anomales due to nhomogeneous dstrbuton of magnetaton and densty n a localed regon, Geophyscs, 4 (3), Bhattacharyya, B.K. and Navolo, M.E., 75, Dgtal convoluton for computng gravty and magnetc anomales due to arbtrary bodes, Geophyscs, 40 (6), 8-. Bhattacharyya, B.K. and Navolo, M.E., 76, A fast Fourer transform method for rapd computaton of gravty and magnetc anomales due to arbtrary bodes, Geophyscal Prospectng, 4 (4), Corbato, C.E., 65, A least-squares procedure for gravty nterpretaton, Geophyscs, 30 (), Cordell, L., 73, Gravty analyss usng an eponental densty-depth functon-san Jacnto Graben, Calforna, Geophyscs, 38 (4), Gendwll, D.J., 70, The gradatonal densty contrast as a gravty nterpretaton model, Geophyscs, 35 (), Hubbert, M.K., 48, A lne-ntegral method of computng the gravmetrc effects of twodmensonal masses, Geophyscs, 3 (), 5-5. Murthy, I.V.R., 67, A smple method for the rapd computaton of gravty and magnetc anomales of two dmensonal bodes, Journal of Indan Geophyscs Unon, 4, Quresh, I.R. and Mula, H.G., 7, Two-dmensonal mass dstrbutons from gravty anomales: a computer method, Geophyscal Prospectng, (), 80-. Rabnowt, P.D. and Ryan, W.B., 70, Gravty anomales and crustal shortenng n the eastern Medterranean, Tectonophyscs, 0 (5), Talwan, M. and Ewng, M., 60, Rapd computaton of gravtatonal attracton of three-dmensonal همانطور که در جدولهای و دیده میشود با بهزرگتهر شدن توده تفاوت بین مقادیر به دست آمده برای آنومالی گرانهی در حالتهای چگالی ثابت و متغیر بیشتر مهیشهود و لهزوم اسهتفاده از تغییرات خطی چگالی در مواقع مورد نیاز برای مدلسازی بیشتر به چشم میخورد. - نتیجهگیری روش چندضلعی روشی اسهت کهه در آن پیرامهون تهوده بها یهک N ضلعی معادلسازی میشود و آنومالی گرانی مدل با استفاده از روش انتگرال خطی محاسبه میشود. اثر گرانی افقی و قائم بهرای تهودهای با چگالی ثابت در مطالعات پیشین به دست آمده است. در این مقاله سعی شده است تا اثر گرانی برای تودهای محاسهبه شهود کهه دارای تغییرات چگالی به صورت خطی در راستای افقی و قائم اسهت. ایهن تغییرات چگالی میتواند در راستای افقی یا قائم به صورت افزایشهی یا کاهشی باشد. نتایج این مطالعه نشان میدههد کهه لحها کهردن تغییرات چگالی دقت مدلسازی را افزایش میدههد و گهامی رو بهه جلو در مدلسازی و اکتشافات گرانیسنجی است. همچنین میتوان روش مشابهی را برای محاسبه آنومالی مغناطیس تودهای کهه دارای تغییرات مغناطیسپذیری خطی در راستای افقی یا قائم است به کار برد. 4- سپاسگزاری نویسندگان این تحقیق بر خهود الزم مهیداننهد از معاونهت محتهرم پژوهشی مؤسسه ژئوفیزیک دانشگاه تههران بابهت مسهاعدت الزم در پیشبرد این پژوهش کمال تشکر و قدردانی را انجام دهند. - منابع Athy, L.F., 30, Densty, porosty and compacton of sedmentary rocks, AAPG Bulletn, 4 (), -4. 0

9 نشریه پژوهشهای ژئوفیزیک کاربردی دوره شماره. 53 submarne fracture one, Journal of geophyscal research, 64 (), 4-5. Won, I.J. and Bevs, M., 87, Computng the gravtatonal and magnetc anomales due to a polygon: Algorthms and FORTRAN subroutnes, Geophyscs, 5 (), bodes of arbtrary shape, Geophyscs, 5 (), Talwan, M., Worel, J.L. and Landsman, M., 5, Rapd gravty computatons for two dmensonal bodes wth applcaton to the Mendocno

10 JOURNAL OF RESEARCH ON APPLIED GEOPHYSICS Shahrood Unversty of Technology (JRAG) 07, VOL, NO (DOI): 0.044/JRAG Computaton of gravty effect of a two-dmensonal body wth arbtrary cross-secton and lnear densty varaton n horontal and vertcal drectons and ts comparson wth the case of constant densty Keywords D Modelng Gravty Anomaly Lnear Densty Varaton Vahd Entear Saadat and Seyed-Han Motavall Anbaran * - M.Sc. Student, Insttute of Geophyscs, Unversty of Tehran, Tehran, Iran - Assstant Professor, Insttute of Geophyscs, Unversty of Tehran, Tehran, Iran Receved: 3 September 06; Accepted: October 06 Correspondng author: motavall@ut.ac.r Etended Abstract Summary We present a formula for computng the horontal and vertcal gravtatonal anomales due to an arbtrary n-sded polygon n a two-dmensonal (D) space wth a lnear densty varaton n horontal and vertcal drectons. In the analyss of gravty data over thck sedmentary basns or lthospherc scale studes, densty contrast can sometmes be appromated by a contnuous functon decreasng or ncreasng lnearly wth depth. We developed a MATLAB code to calculate the gravtatonal anomaly of an n-sded polygon havng lnear densty varaton and compare the anomaly wth that of a same n-sded polygon havng mean constant densty. There s a sgnfcant dfference n the amount of anomales that cannot be gnored. Introducton When we face geologcal structures, whch are appromately lnear, the problem can be solved by analyss of D forms. Any D body of rregular cross secton can be appromated by a polygon and for gravty modelng, an algorthm can be developed based on ths polygon. It s well recogned that densty of sedmentary rocks ncreases wth depth, and also, there s a lnear densty decreasng wth depth n mantle structure. We present a modfed algorthm for computng the gravtatonal acceleraton due to a polygon wth lnear densty varaton n horontal or vertcal drectons. Consderng some geologcal assumptons, a theoretcal geometrcal model wll be constructed. D models are constructed n (X,Z) coordnates and are composed of a seres of polygons whose apces defne the model geometrcally. Ths s the frst stage n the modelng process. The second stage s to modfy the shape of the body untl a best ft s obtaned between the theoretcal and observed anomales. A change n the shape of the body s easly accomplshed by computer n the polygon method by changng the coordnates of the vertces. Methodology and Approaches It s known that the vertcal and horontal component of gravtatonal attracton due to a D body s equal to the lne ntegral beng taken along ts permeter. Usng ths method, t s possble to model the geologcal structures by polygons. If we assume a constant amount for the densty contrast, the densty gets out from the ntegraton but f there s a varable densty, t should be taken nto account n the ntegraton. Many methods have been suggested for calculaton of gravty anomales due to rregular D bodes havng a unform densty contrast. In ths paper, we solve the lne ntegral wth lnear densty varaton n horontal or vertcal drectons and use these results n a MATLAB code n order to compute the vertcal and horontal gravtatonal anomales. Results and Conclusons To compare the dfferences n gravtatonal anomales due to a model havng lnear densty varaton n horontal or vertcal drectons and a model havng mean unform densty, we construct a D synthetc model contanng arbtrary cross secton. The results show that the dfferences are notceable n both horontal and vertcal gravty attracton. A smlar method can be developed for computaton of magnetc anomales of a body havng lnear magnetc susceptblty varatons n horontal or vertcal drectons.